Cho tam giác ABC vuông tại A.gọi P là trung điểm của BC.Từ P kẻ PM vuông góc với AB(M thuộc AB),PN vuông góc với AC(N thuộc AC) trên tia PN lấy điểm Q

a) Xét tứ giác AMPN có

$\widehat{PMA} = \widehat{MAN} = \widehat{ANP} = 90^{\circ}$

Vậy tứ giác AMPN là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác AMPN là hình chữ nhật nên $PN \perp AC$.

Lại có $AB \perp AC$ nên $PN//AB$.

Mặt khác, P là trung điểm BC nên NP là đường trung bình của tam giác BAC.

Vậy N là trung điểm AC.

c) Xét tam giác AMR vuông tại M, ta có

$\widehat{MRA} + \widehat{MAR} = 90^{\circ}$

$<-> \widehat{MAR} = 90^{\circ} – \widehat{MRA}$ (1)

Tương tự, ta có

$\widehat{PQA} + \widehat{NAQ} = 90^{\circ}$

$<-> \widehat{NAQ} = 90^{\circ} – \widehat{PQA}$ (2)

Do tứ giác AMPN là hình chữ nhật nên $QP \perp PR$.

Xét tam giác QPR vuông tại P có

$\widehat{PQR} + \widehat{PRQ} = 90^{\circ}$ (3)

Từ (1), (2), và (3) ta có

$\widehat{MAR} + \widehat{NAQ} = 90^{\circ} – \widehat{MRA} + 90^{\circ} – \widehat{PQA}$

$= 180^{\circ} – (\widehat{MRA} + \widehat{PQA})$

$= 180^{\circ} – 90^{\circ}$

$= 90^{\circ}$

Khi đó, ta có

$\widehat{QAR} = (\widehat{QAN} + \widehat{MAR}) + \widehat{NAM}$

$= 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$

Vậy Q, A, R thẳng hàng.