Nhờ giải giúp bài toán lớp 9:Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c+ab+ac+bc=6. Chứng minh rằng a ³/b+b ³/c+c ³/a ≥a ²+b ²+c ² ≥3

Giải thích các bước giải:

$\text{Ta có: a+b+c+ab+bc+ca =6}\rightarrow 6\le (a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

$\rightarrow (a+b+c)^3+3(a+b+c)-18\ge 0\rightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+6)\ge 0\rightarrow a+b+c\ge 3$

$\rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3(1)$

$\text{Lại có: }$

      $P=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$ 

$\rightarrow P+ab+bc+ca=(\dfrac{a^3}{b}+ab)+(\dfrac{b^3}{c}+bc)+(\dfrac{c^3}{a}+ca)$

$\rightarrow P+ab+bc+ca\ge 2\sqrt[]{\dfrac{a^3}{b}.ab}+2\sqrt[]{\dfrac{b^3}{c}.bc}+2\sqrt[]{\dfrac{c^3}{a}.ca}$

$\rightarrow P+ab+bc+ca\ge 2a^2+2b^2+2c^2$

$\rightarrow P+ab+bc+ca\ge a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)$

$\rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2(2)$

$Từ \quad(1)+(2) \rightarrow \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge 3$